Una base de triángulo

La operación geodésica que iba a emprender la comisión era, como se sabe, un trabajo de triangulación cuyo objeto era la medición de un arco de meridiano. Ahora bien, la medición de uno o varios grados, directamente, por medio de reglas metálicas colocadas una a continuación de otra, sería un trabajo absolutamente impracticable desde el punto de vista de la exactitud matemática. Ningún terreno, por lo demás, en ningún punto del globo, sería lo bastante llano en un espacio de varios cientos de leguas para prestarse eficazmente a la ejecución de una operación tan delicada. Por fortuna, se puede proceder de una manera más rigurosa, dividiendo todo el terreno que debe atravesar la línea del meridiano en cierto número de triángulos «aéreos», cuya determinación es relativamente poco difícil.

Estos triángulos se obtienen apuntando, por medio de instrumentos precisos, el teodolito o el círculo repetidor, a señales naturales o artificiales, tales como campanarios, torres, faroles, postes. En cada señal converge un triángulo, cuyos ángulos son dados por los mencionados instrumentos con una precisión matemática. En efecto, un objeto cualquiera —un campanario, de día, un farol, de noche— puede ser medido con exactitud perfecta por un buen observador que lo apunte por medio de un anteojo cuyo campo está dividido por los hilos de un retículo. Se obtienen así triángulos cuyos lados miden a menudo varias millas de longitud. De esta manera unió Arago la costa de Valencia, en España, con las islas Baleares, mediante un inmenso triángulo, uno de cuyos lados tiene ochenta y dos mil quinientas cincuenta y cinco toesas de longitud.

Ahora bien, según un principio de geometría, un triángulo cualquiera es enteramente «conocido» cuando se conoce uno de sus lados y dos de sus ángulos, pues se puede deducir inmediatamente el valor del tercer ángulo y la longitud de los otros dos lados. Así pues, tomando como base de un nuevo triángulo un lado de los triángulos ya formados, y midiendo los ángulos adyacentes a esa base, se establecerán así nuevos triángulos que se irán sucediendo hasta el límite del arco que se ha de medir. Se obtienen, pues, por este método, las longitudes de todas las rectas comprendidas en la red de triángulos, y mediante una serie de cálculos trigonométricos se puede determinar fácilmente la magnitud del arco de meridiano que atraviesa la red entre las dos estaciones terminales.

Se acaba de decir que un triángulo es enteramente conocido cuando se conoce uno de sus lados y dos de sus ángulos. Ahora bien, sus ángulos se pueden obtener con exactitud por medio del teodolito o del círculo repetidor. Pero ese primer lado, base de todo el sistema, es preciso «medirlo primero directamente sobre el terreno», con una precisión extraordinaria, y ese es el trabajo más delicado de toda triangulación.

Cuando Delambre y Méchain midieron la meridiana de Francia desde Dunquerque hasta Barcelona, tomaron como base de su triangulación una dirección rectilínea sobre la carretera que va de Melun a Lieusaint, en el departamento de Sena y Marne. Esta base tenía doce mil ciento cincuenta metros, y no se necesitaron menos de cuarenta y cinco días para medirla. Qué medios emplearon estos sabios para obtener una exactitud matemática, es lo que nos enseñará la operación del coronel Everest y de Mathieu Strux, quienes procedieron como habían procedido los dos astrónomos franceses. Se verá hasta qué punto debía llevarse la precisión.

Fue durante esta jornada del 5 de marzo cuando comenzaron los primeros trabajos geodésicos, para gran asombro de los bosquimanos, que no lograban entender nada de aquello. Medir la tierra con reglas de seis pies de largo, colocadas una a continuación de otra, le parecía al cazador una broma de sabios. En todo caso, él había cumplido con su deber. Le habían pedido una llanura bien llana, y había proporcionado la llanura.

El emplazamiento estaba, en efecto, bien elegido para la medición directa de una base. La llanura, cubierta de un césped corto y seco, se extendía hasta los límites del horizonte según un plano netamente nivelado. Sin duda los operadores de la carretera de Melun no habían sido tan favorecidos. Detrás ondulaba una línea de colinas que formaba el límite extremo sur del desierto de Kalahari. Al norte, el infinito. Hacia el este morían en suaves pendientes las vertientes de aquellas alturas que componían la meseta de Lattakou.

Al oeste, la llanura, descendiendo aún más, se volvía pantanosa, y se empapaba de un agua estancada que alimentaba los afluentes del Kuruman.

– Pienso, coronel Everest —dijo Mathieu Strux, tras haber observado aquella extensión herbosa—, pienso que, una vez establecida nuestra base, podremos fijar aquí mismo el punto terminal de la meridiana.

– Pensaré como usted, señor Strux —respondió el coronel Everest—, en cuanto hayamos determinado la longitud exacta de este punto. Es necesario, en efecto, comprobar, al trasladarlo al mapa, si este arco de meridiano no encuentra en su recorrido obstáculos insalvables que pudieran detener la operación geodésica.

– No lo creo —respondió el astrónomo ruso.

– Ya lo veremos —respondió el astrónomo inglés—. Midamos primero la base en este lugar, puesto que se presta a esta operación, y decidiremos después si convendrá unirla, mediante una serie de triángulos auxiliares, a la red de triángulos que habrá de atravesar el arco del meridiano.

Decidido esto, se resolvió proceder sin demora a la medición de la base. La operación había de ser larga, pues los miembros de la comisión anglorrusa querían llevarla a cabo con una exactitud rigurosa. Se trataba de superar en precisión las mediciones geodésicas hechas en Francia sobre la base de Melun, mediciones tan perfectas, sin embargo, que una nueva base, medida más tarde cerca de Perpiñán, en el extremo sur de la triangulación, y destinada a la verificación de los cálculos exigidos por todos los triángulos, no acusó más que una diferencia de once pulgadas en una distancia de trescientas treinta mil toesas, entre la medida directamente obtenida y la medida solo calculada.

Se dieron entonces las órdenes para el campamento, y una especie de aldea bosquimana, una suerte de kraal, se improvisó en la llanura. Las carretas se dispusieron como verdaderas casas, y el poblado se dividió en barrio inglés y barrio ruso, sobre los cuales ondeaban los pabellones nacionales. En el centro se extendía una plaza común. Más allá de la línea circular de las carretas pacían los caballos y los búfalos bajo la vigilancia de sus conductores, y durante la noche se los hacía volver al recinto formado por las carretas, a fin de sustraerlos a la voracidad de las fieras, muy comunes en el interior del África austral.

Fue Mokoum quien se encargó de organizar las cacerías destinadas al abastecimiento del poblado. Sir John Murray, cuya presencia no era indispensable para la medición de la base, se ocupó más particularmente del servicio de víveres. Importaba, en efecto, economizar las carnes en conserva, y proporcionar diariamente a la caravana una ración ordinaria de carne fresca de caza. Gracias a la habilidad de Mokoum, a su práctica constante y a la destreza de sus compañeros, la caza no faltó. Las llanuras y las colinas fueron batidas en un radio de varias millas alrededor del campamento, y resonaron a todas horas con las detonaciones de las armas europeas.

El 6 de marzo comenzaron las operaciones geodésicas. Los dos sabios más jóvenes de la comisión quedaron encargados de los trabajos preliminares.

– En marcha, camarada —dijo alegremente Michel Zorn a William Emery—, ¡y que el Dios de la precisión nos ayude!

La primera operación consistió en trazar sobre el terreno, en su parte más llana y más pareja, una dirección rectilínea. La disposición del suelo dio a esta recta la orientación de sudeste a noroeste. Su rectitud se obtuvo por medio de estacas clavadas en tierra a corta distancia unas de otras, que formaron otros tantos jalones. Michel Zorn, provisto de un anteojo de retículo, verificaba la colocación de estos jalones y la reconocía exacta cuando el hilo vertical del retículo dividía todas sus imágenes focales en partes iguales.

Esta dirección rectilínea fue así levantada a lo largo de unas nueve millas, longitud presunta que los astrónomos pensaban dar a su base. Cada estaca había sido provista en su extremo superior de una mira que debía facilitar la colocación de las reglas metálicas. Este trabajo exigió algunos días para ser llevado a buen término. Los dos jóvenes lo realizaron con escrupulosa exactitud.

Se trataba entonces de colocar, una a continuación de otra, las reglas destinadas a medir directamente la base del primer triángulo, operación que puede parecer muy sencilla, pero que exige, por el contrario, precauciones infinitas, y de la cual depende en gran parte el éxito de una triangulación.

He aquí cuáles fueron las disposiciones tomadas para la colocación de las reglas en cuestión, que se describirán a continuación.

Durante la mañana del 10 de marzo se instalaron sobre el terreno unos zócalos de madera, siguiendo la dirección rectilínea ya levantada. Estos zócalos, doce en número, se apoyaban por su parte inferior en tres tornillos de hierro, cuyo juego no era más que de algunas pulgadas, que les impedían deslizarse y los mantenían, por su adherencia, en una posición invariable.

Sobre estos zócalos se dispusieron pequeñas piezas de madera perfectamente niveladas, que debían sostener las reglas y contenerlas en pequeñas monturas. Estas monturas fijaban su dirección, sin entorpecer su dilatación, que había de variar según la temperatura y de la que importaba tener en cuenta en la operación.

Cuando los doce zócalos hubieron sido fijados y cubiertos con las piezas de madera, el coronel Everest y Mathieu Strux se ocuparon de la tan delicada colocación de las reglas, operación en la que tomaron parte los dos jóvenes. En cuanto a Nicolas Palander, lápiz en mano, estaba listo para anotar en un doble registro las cifras que le fueran transmitidas.

Las reglas empleadas eran seis, y de una longitud determinada de antemano con una precisión absoluta. Habían sido comparadas con la antigua toesa francesa, generalmente adoptada para las mediciones geodésicas.

Estas reglas tenían dos toesas de largo, seis líneas de ancho y una línea de espesor. El metal empleado en su fabricación había sido el platino, metal inalterable al aire en circunstancias habituales, y completamente inoxidable, tanto en frío como en caliente. Pero estas reglas de platino debían sufrir un alargamiento o una disminución de los que era preciso tener en cuenta, bajo la acción variable de la temperatura. Se había ideado, pues, dotar a cada una de ellas de su propio termómetro, termómetro metálico fundado en la propiedad que tienen los metales de modificarse desigualmente bajo la influencia del calor. Por eso cada una de estas reglas estaba recubierta de otra regla de cobre, algo inferior en longitud. Un nonio, dispuesto en el extremo de la regla de cobre, indicaba exactamente el alargamiento relativo de dicha regla, lo cual permitía deducir el alargamiento absoluto del platino. Además, las variaciones del nonio habían sido calculadas de tal modo que se podía evaluar una dilatación, por pequeña que fuese, en la regla de platino. Se comprende, pues, con qué precisión era posible operar. Este nonio estaba, por lo demás, provisto de un microscopio que permitía apreciar cuartos de cienmilésima de toesa.

Las reglas se dispusieron, pues, sobre las piezas de madera, una a continuación de otra, pero sin tocarse, pues era preciso evitar el choque, por leve que fuese, que hubiera resultado de un contacto inmediato. El coronel Everest y Mathieu Strux colocaron ellos mismos la primera regla sobre la pieza de madera, en la dirección de la base. A unas cien toesas de allí, aproximadamente, encima de la primera estaca, se había establecido una mira, y como las reglas estaban armadas de dos puntas verticales de hierro implantadas en el eje mismo, resultaba fácil colocarlas exactamente en la dirección deseada. En efecto, Emery y Zorn, tras retirarse hacia atrás y tenderse en el suelo, examinaron si las dos puntas de hierro se proyectaban bien sobre el centro de la mira. Hecho esto, quedaba asegurada la buena dirección de la regla.

– Ahora —dijo el coronel Everest— es preciso determinar de manera precisa el punto de partida de nuestra operación, llevando una plomada tangente al extremo de la primera regla. Ninguna montaña ejercerá una acción perceptible sobre este hilo, y de este modo marcará exactamente sobre el suelo el extremo de la base.

– Sí —respondió Mathieu Strux—, a condición, sin embargo, de que tengamos en cuenta el semiespesor del hilo en el punto de contacto.

– Así lo entiendo —respondió el coronel Everest.

Fijado de manera precisa el punto de partida, el trabajo prosiguió. Pero no bastaba con que la regla estuviera colocada exactamente en la dirección rectilínea de la base; era preciso tener en cuenta también su inclinación con respecto al horizonte.

– ¿No tenemos la pretensión, supongo —dijo el coronel Everest—, de colocar esta regla en una posición perfectamente horizontal?

– No —respondió Mathieu Strux—, bastará con medir con un nivel el ángulo que cada regla forme con el horizonte, y así podremos reducir la longitud medida a la longitud verdadera.

Estando de acuerdo los dos sabios, se procedió a esta medición por medio de un nivel especialmente construido a tal efecto, formado por una alidada móvil alrededor de una charnela colocada en el vértice de una escuadra de madera. Un nonio indicaba la inclinación por la coincidencia de sus divisiones con las de una regla fija que llevaba un arco de diez grados, dividido de cinco en cinco minutos.

Se aplicó el nivel sobre la regla y se comprobó el resultado. En el momento en que Nicolas Palander iba a inscribirlo en su registro, después de haber sido sucesivamente controlado por los dos sabios, Mathieu Strux pidió que el nivel fuera invertido de un extremo a otro, de manera que se pudiera leer la diferencia de los dos arcos. Esta diferencia se convertía entonces en el doble de la inclinación buscada, y el trabajo quedaba así controlado. El consejo del astrónomo ruso fue seguido desde entonces en todas las operaciones de este género.

En ese momento se observaban dos puntos importantes: la dirección de la regla con respecto a la base, y el ángulo que formaba con respecto al horizonte. Las cifras resultantes de esta observación fueron consignadas en dos registros diferentes, y firmadas al margen por los miembros de la comisión anglorrusa.

Quedaban por anotar dos observaciones no menos importantes para terminar el trabajo relativo a la primera regla: primero, su variación termométrica; después, la evaluación exacta de la longitud medida por ella.

En cuanto a la variación termométrica, quedó fácilmente indicada por la comparación de las diferencias de longitud entre la regla de platino y la regla de cobre. El microscopio, observado sucesivamente por Mathieu Strux y el coronel Everest, dio la cifra absoluta de la variación de la regla de platino, variación que fue inscrita en el doble registro, de manera que pudiera reducirse más tarde a la temperatura de 16 grados centígrados. Cuando Nicolas Palander hubo anotado las cifras obtenidas, estas cifras fueron inmediatamente cotejadas por todos.

Se trataba entonces de anotar la longitud realmente medida. Para obtener este resultado, era necesario colocar la segunda regla sobre la pieza de madera, a continuación de la primera, dejando un pequeño intervalo entre ambas. Esta segunda regla fue dispuesta como lo había sido la anterior, después de haberse verificado escrupulosamente si las cuatro puntas de hierro estaban bien alineadas con el centro de la mira.

No quedaba, pues, más que medir el intervalo dejado entre las dos reglas. En el extremo de la primera, y en la parte que no cubría la regla de cobre, se hallaba una pequeña lengüeta de platino que se deslizaba con leve rozamiento entre dos correderas. El coronel Everest empujó esta lengüeta, de manera que llegara a tocar la segunda regla. Como dicha lengüeta estaba dividida en diez milésimas de toesa, y un nonio inscrito en una de las correderas, provisto de su microscopio, daba las cienmilésimas, se pudo evaluar con certeza matemática el intervalo dejado adrede entre las dos reglas. La cifra fue anotada de inmediato en el doble registro e inmediatamente cotejada.

Se tomó todavía otra precaución, por consejo de Michel Zorn, para obtener una evaluación más rigurosa. La regla de cobre cubría la regla de platino. Podía, pues, ocurrir que, bajo la acción de los rayos solares, el platino, así resguardado, se calentara más lentamente que el cobre. A fin de evitar esta diferencia en la variación termométrica, se cubrieron las reglas con un pequeño techo elevado unas pulgadas, de manera que no estorbase las diversas observaciones. Solo que, cuando, al atardecer o por la mañana, los rayos solares, dirigidos oblicuamente, penetraban bajo el techo hasta las reglas, se tendía una tela del lado del sol, de manera que detuviera sus rayos.

Tales fueron las operaciones que se llevaron a cabo con esta paciencia y esta minuciosidad durante más de un mes. Cuando las cuatro reglas habían sido colocadas y verificadas sucesivamente desde el cuádruple punto de vista de la dirección, la inclinación, la dilatación y la longitud efectiva, se recomenzaba el trabajo con la misma regularidad, trasladando los zócalos, los caballetes y la primera regla a continuación de la cuarta. Estas maniobras exigían mucho tiempo, a pesar de la habilidad de los operadores. No medían más de doscientas veinte a doscientas treinta toesas por día, y aun así, con ciertos tiempos desfavorables, cuando el viento era demasiado violento y podía comprometer la inmovilidad de los aparatos, se suspendía la operación.

Cada día, al llegar la tarde, unos tres cuartos de hora antes de que la falta de luz hiciese imposible la lectura de los nonios, los sabios suspendían su trabajo y tomaban las precauciones siguientes, a fin de reanudarlo a la mañana siguiente. La regla que llevaba el número 1 era colocada de manera provisional, y se marcaba sobre el suelo el punto donde debía terminar. En ese punto se hacía un agujero, en el cual se hincaba una estaca a la que se ataba una placa de plomo. Se volvía entonces a colocar la regla número 1 en su posición definitiva, después de haber observado su inclinación, su variación termométrica y su dirección; se anotaba el alargamiento medido por la regla número 4; luego, por medio de una plomada tangente al extremo anterior de la regla número 1, se hacía una marca en la placa de la estaca. En ese punto se trazaban cuidadosamente dos líneas que se cortaban en ángulo recto, una en el sentido de la base, la otra en el sentido de la perpendicular. Después, cubierta la placa de plomo con una tapa de madera, se rellenaba el agujero y se enterraba la estaca hasta el día siguiente. De este modo, un accidente cualquiera podía trastornar los aparatos durante la noche, sin que fuese necesario recomenzar la operación por completo.

Al día siguiente, descubierta la placa, se volvía a colocar la primera regla en la misma posición que la víspera, por medio de la plomada, cuya punta debía caer exactamente sobre el punto trazado por las dos líneas.

Tal fue la serie de operaciones que se prosiguieron durante treinta y ocho días sobre aquella llanura tan favorablemente nivelada. Todas las cifras fueron escritas por duplicado, verificadas, cotejadas y aprobadas por todos los miembros de la comisión.

Pocas discusiones se produjeron entre el coronel Everest y su colega ruso. Algunas cifras, leídas en el nonio, y que acusaban cuatrocientas milésimas de toesa, dieron lugar en ocasiones a un intercambio de palabras agridulces. Pero, llamada a pronunciarse la mayoría, su opinión hacía ley, y era preciso inclinarse ante ella.

Una sola cuestión provocó entre los dos rivales réplicas más que vivas, que exigieron la intervención de sir John Murray. Fue la cuestión de la longitud que había de darse a la base del primer triángulo. Era cierto que cuanto más larga fuese esta base, más fácil sería medir el ángulo que formaba el vértice del primer triángulo, puesto que sería más abierto. Sin embargo, esta longitud no podía prolongarse indefinidamente. El coronel Everest proponía una base de seis mil toesas de largo, casi igual a la base medida directamente sobre la carretera de Melun. Mathieu Strux quería prolongar esta medida hasta diez mil toesas, puesto que el terreno se prestaba a ello.

En esta cuestión, el coronel Everest se mostró intransigente. Mathieu Strux parecía igualmente decidido a no ceder. Tras los argumentos más o menos plausibles, se llegó a lo personal. La cuestión de nacionalidad amenazó con surgir en cierto momento. Ya no eran dos sabios, eran un inglés y un ruso frente a frente. Por fortuna, este debate quedó interrumpido a causa de un mal tiempo que duró algunos días; los ánimos se calmaron, y se decidió por mayoría que la medida de la base quedaría definitivamente fijada en unas ocho mil toesas, lo cual repartió la diferencia por mitad.

En resumen, la operación se llevó a buen término y se condujo con extrema precisión. En cuanto al rigor matemático, había de controlarse más tarde, midiendo una nueva base en el extremo septentrional de la meridiana.

En suma, esta base, medida directamente, dio como resultado ocho mil treinta y siete toesas y setenta y cinco centésimas, y sobre ella iba a apoyarse la serie de triángulos cuya red debía cubrir el África austral en un espacio de varios grados.

[Nota 1] O sea, 160 kilómetros o 40 leguas.

[Nota 2] O sea, 175 leguas.

[Nota 3] Aparato que sirve para fraccionar el intervalo entre los puntos de división de una línea recta o de un arco de círculo.

[Nota 4] La presencia de una montaña puede, en efecto, por su atracción, desviar la dirección de un hilo, y fue precisamente la cercanía de los Alpes lo que produjo una diferencia bastante notable entre la longitud observada y la longitud medida del arco que se calculó entre Andrate y Mondovi.